[特急]能用一种方法解得n为正整数,(n^2+5n+16)^(1/2)为正整数将n解得为7

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 00:14:32
题目是:
设n为正整数,若(n^2+5n+16)^(1/2)也为正整数,则n之值为何?
注意一下= = 正整数为>0且为1,2,3,4,5,6........

我用一个比较麻烦的方法做一下~
n为正整数,(n^2+5n+16)^(1/2)也为正整数
首先证明(n^2+5n+16)^(1/2)肯定比n大
把它们都平方，得
n^2+5n+16和n^2
相减之后可得5n+16>0,所以(n^2+5n+16)^(1/2)肯定比n大

这样就可以设一个正整数k，使得
(n^2+5n+16)^(1/2)=n+k
n^2+5n+16=（n+k)^2
化简得
(2k-5)n +(k^2 -16)=0
n=(k^2 -16)/(5-2k)
n为正整数，所以n>0
即(k^2 -16)/(5-2k)>0
(k^2 -16)/(2k-5)<0
这种不等式的解法就不详细说了
解为k∈(-∞,-4)∪(5/2, 4)
k为正整数，所以符合的只有k=3！！

代入原式
n^2+5n+16=（n+3)^2
5n+16=6n+9
解得n=7
大概就这样，希望能看明白~~

n=4时，解为7.21110251